WIKI de apuntes de Billy Rondón

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Tabla de Contenidos

Productos Notables

Cuadrado de un binomio

  • ( a ± b )^2 = a^2 ± 2a.b + b^2

A la expresión a^2 + 2a.b + b^2 ó a^2 - 2a.b + b^2 se le conoce como “trinomio cuadrado perfecto”.

Diferencia de cuadrados

  • ( a + b )(a - b) ~=~ a^2 - b^2

Cubo de un binomio

  • (a ± b)^3 ~=~ a^3 ± 3 a^2 . b + 3 a . b^2 ± b^3

Suma y diferencia de cubos

  • (a+b)(a^2 - a.b + b^2) ~=~ a^3 + b^3
  • (a-b)(a^2 + a.b + b^2) ~=~ a^3 - b^3

Producto de binomios con término común

  • (x + a)(x + b) ~=~ x^2 + (a+b)x + a.b
  • (x + a)(x + b)(x + c) ~=~ x^3 + (a+b+c)x^2 + (a.b+b.c+c.a)x + a.b.c

Cuadrado de un trinomio

  • (a+b+c)^2 ~=~ a^2 + b^2 + c^2 + 2(a.b+b.c+c.a)

Cubo de un trinomio

  • (a+b+c)^3 ~=~ a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)
  • (a+b+c)^3 ~=~ a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b+c)(a.b + b.c + c.a) - 3a.b.c

Identidades de Legendre

  • (a+b)^2 + (a-b)^2 ~=~ 2(a^2 + b^2)
  • (a+b)^2 - (a-b)^2 ~=~ 4a.b

Se deduce:

  • (a+b)^2 - (a-b)^2 ~=~ 8a.b(a^2 + b^2)

Identidades de Lagrange

  • (a.x + b.y)^2 + (a.y - b.x)^2 ~=~ (a^2 + b^2)(x^2 + y^2)
  • (a.x + b.y + c.z)^2 + (a.y - b.x)^2 + (b.z - c.y)^2 + (a.z - c.x)^2 ~=~ (a^2 + b^2 + c^2)(x^2 + y^2 + z^2)

Identidades trinómica de Argand

  • ( x^{2n} + x^n.y^m + y^{2m} )( x^{2n} - x^n.y^m + y^{2m} ) ~=~ x^{4n} + x^{2n}.y^{2m} + y^{4m}

Se deduce:

  • (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1) ~=~ x^4 + x^2 + 1

Identidad de Gauss

  • (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 - a.b - b.c - c.a) ~=~ a^3 + b^3 + c^3

Identidad Auxiliar

  • (a+b)(b+c)(c+a) + a.b.c ~=~ (a+b+c)(a.b+b.c+c.a)

Identidades con Condición

Se aplican solo cuando:

Si: {a,b,c} ⊂ R tal que:

  • a^2 + b^2 + c^2 ~=~ a.b + b.c + c.a ~right~a = b = c

Si: a + b + c = 0, entonces

  • a^2 + b^2 + c^2 ~=~ - 2(a.b + b.c + c.a)
  • a^3 + b^3 + c^3 ~=~ 3a.b.c
  • a^4 + b^4 + c^4 ~=~ 2(a^2 . b^2 + b^2 . c^2 + c^2 . a^2)
  • a^5 + b^5 + c^5 ~=~ - 5a.b.c(a.b + b.c + c.a)
academia/numeros/algebra/productos_notables.txt · Última modificación: 2025/06/16 05:34 por admin